수식 테스트

# Bloch Theorem 주요 수식 (KaTeX)

주기 격자 벡터를 $\mathbf R$, 역격자 벡터를 $\mathbf G$라 하자.

## 1) 주기 퍼텐셜

$$V(\mathbf r+\mathbf R)=V(\mathbf r)$$

## 2) Bloch 파동함수 (핵심)

$$\psi\_{n\mathbf k}(\mathbf r)=e^{i\mathbf k\cdot \mathbf r},u\_{n\mathbf k}(\mathbf r)$$

## 3) 주기 함수 $u_{n\mathbf k}$의 성질

$$u\_{n\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf R)=u\_{n\mathbf k}(\mathbf r)$$

## 4) Bloch 조건 (평행이동 시 위상)

$$\psi\_{n\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf R)=e^{i\mathbf k\cdot \mathbf R},\psi\_{n\mathbf k}(\mathbf r)$$

## 5) 평행이동 연산자 고유값

평행이동 연산자를 $\hat T_{\mathbf R}$라 두면,

$$(\hat T_{\mathbf R}\psi)(\mathbf r)=\psi(\mathbf r+\mathbf R)$$

따라서 Bloch 상태는

$$\hat T\_{\mathbf R}\psi\_{n\mathbf k}(\mathbf r)=e^{i\mathbf k\cdot \mathbf R}\psi_{n\mathbf k}(\mathbf r)$$

## 6) $\mathbf k$의 역격자 동치

$$\psi\_{n,\mathbf k+\mathbf G}(\mathbf r)=\psi\_{n\mathbf k}(\mathbf r)$$

## 7) $u_{n\mathbf k}$의 역격자(평면파) 전개

$$u\_{n\mathbf k}(\mathbf r)=\sum\_{\mathbf G} c_{n}(\mathbf k+\mathbf G),e^{i\mathbf G\cdot \mathbf r}$$

## 8) Bloch 함수의 평면파 전개

$$\psi\_{n\mathbf k}(\mathbf r)=\sum\_{\mathbf G} c_{n}(\mathbf k+\mathbf G),e^{i(\mathbf k+\mathbf G)\cdot \mathbf r}$$

9) 슈뢰딩거 방정식

$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf r)\right]\psi_{n\mathbf k}(\mathbf r) =E_n(\mathbf k)\psi_{n\mathbf k}(\mathbf r)$$

10) $u_{n\mathbf k}$에 대한 방정식 (Bloch 형태 대입)

$$\left[\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\nabla+\hbar\mathbf k\right)^2+V(\mathbf r)\right]u_{n\mathbf k}(\mathbf r) =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k}(\mathbf r)$$